Algèbre linéaire Exemples

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} e^{x} & cos (x) & sin (x) e^{x} & - sin (x) & cos (x) e^{x} & - cos (x) & - sin (x) \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) & \sin (x) \\ e^{x} & - \sin (x) & \cos (x) \\ e^{x} & - \cos (x) & - \sin (x) \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - sin (x) & cos (x) - cos (x) & - sin (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

e^{x} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - sin (x) & cos (x) - cos (x) & - sin (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$e^{x} | \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} e^{x} & cos (x) e^{x} & - sin (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- cos (x) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} e^{x} & cos (x) e^{x} & - sin (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} e^{x} & - sin (x) e^{x} & - cos (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

sin (x) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} e^{x} & - sin (x) e^{x} & - cos (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$\sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

e^{x} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - sin (x) & cos (x) - cos (x) & - sin (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - cos (x) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} e^{x} & cos (x) e^{x} & - sin (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + sin (x) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} e^{x} & - sin (x) e^{x} & - cos (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$e^{x} | \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} | - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

e^{x} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - sin (x) & cos (x) - cos (x) & - sin (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - cos (x) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} e^{x} & cos (x) e^{x} & - sin (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + sin (x) ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} e^{x} & - sin (x) e^{x} & - cos (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣

Étape 2

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - sin (x) & cos (x) - cos (x) & - sin (x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - \sin (x) & \cos (x) \\ - \cos (x) & - \sin (x) \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} (- \sin (x) (- \sin (x)) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

$- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$e^{x} (1 \sin (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez

$\sin (x)$ par

$1$ .

$e^{x} (\sin (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.1.1.3

Élevez

$\sin (x)$ à la puissance

$1$ .

$e^{x} (\sin^{1} (x) \sin (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.1.1.4

Élevez

$\sin (x)$ à la puissance

$1$ .

$e^{x} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.1.1.5

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x} ({\sin (x)}^{1 + 1} - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.1.1.6

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - (- \cos (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

$- \cos (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Élevez

$\cos (x)$ à la puissance

$1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - (\cos^{1} (x) \cos (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.2

Élevez

$\cos (x)$ à la puissance

$1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - {\cos (x)}^{1 + 1}) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) - - \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.1.3

Multipliez

$- - \cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) + 1 \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.1.3.2

Multipliez

$\cos^{2} (x)$ par

$1$ .

$e^{x} (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 2.2.2

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) | \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} | + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

$| \begin{array}{c} e^{x} & \cos (x) \\ e^{x} & - \sin (x) \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (e^{x} (- \sin (x)) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) | \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

$| \begin{array}{c} e^{x} & - \sin (x) \\ e^{x} & - \cos (x) \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (e^{x} (- \cos (x)) - e^{x} (- \sin (x)))$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) - e^{x} (- \sin (x)))$

Étape 4.2.2

Multipliez

$- e^{x} (- \sin (x))$ .

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Étape 4.2.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + 1 e^{x} \sin (x))$

Étape 4.2.2.2

Multipliez

$e^{x}$ par

$1$ .

$e^{x} \cdot 1 - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Étape 5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Multipliez

$e^{x}$ par

$1$ .

$e^{x} - \cos (x) (- e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} - \cos (x) (- e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.3

Multipliez

$- \cos (x) (- e^{x} \sin (x))$ .

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Étape 5.1.3.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$e^{x} + 1 \cos (x) (e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.3.2

Multipliez

$\cos (x)$ par

$1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) - \cos (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.4

Multipliez

$- \cos (x) (- e^{x} \cos (x))$ .

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Étape 5.1.4.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + 1 \cos (x) (e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.4.2

Multipliez

$\cos (x)$ par

$1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) (e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.4.3

Élevez

$\cos (x)$ à la puissance

$1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.4.4

Élevez

$\cos (x)$ à la puissance

$1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.4.5

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + {\cos (x)}^{1 + 1} e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.4.6

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$e^{x} + \cos (x) (e^{x} \sin (x)) + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x) + e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin (x) (- e^{x} \cos (x)) + \sin (x) (e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin (x) (e^{x} \sin (x))$

Étape 5.1.7

Multipliez

$\sin (x) (e^{x} \sin (x))$ .

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Étape 5.1.7.1

Élevez

$\sin (x)$ à la puissance

$1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) e^{x}$

Étape 5.1.7.2

Élevez

$\sin (x)$ à la puissance

$1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) e^{x}$

Étape 5.1.7.3

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} e^{x}$

Étape 5.1.7.4

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Étape 5.2

Associez les termes opposés dans

$e^{x} + \cos (x) e^{x} \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - \sin (x) e^{x} \cos (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$ .

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Étape 5.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes

$\cos (x) e^{x} \sin (x)$ et

$- \sin (x) e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} + e^{x} \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) e^{x} - e^{x} \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Étape 5.2.2

Soustrayez

$e^{x} \cos (x) \sin (x)$ de

$e^{x} \cos (x) \sin (x)$ .

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + 0 + \sin^{2} (x) e^{x}$

Étape 5.2.3

Additionnez

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x}$ et

$0$ .

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$

Étape 5.3

Factorisez

$e^{x}$ à partir de

$e^{x} + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez par

$1$ .

$e^{x} \cdot 1 + \cos^{2} (x) e^{x} + \sin^{2} (x) e^{x}$

Étape 5.3.2

Factorisez

$e^{x}$ à partir de

$\cos^{2} (x) e^{x}$ .

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) e^{x}$

Étape 5.3.3

Factorisez

$e^{x}$ à partir de

$\sin^{2} (x) e^{x}$ .

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x) + e^{x} \sin^{2} (x)$

Étape 5.3.4

Factorisez

$e^{x}$ à partir de

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} \cos^{2} (x)$ .

$e^{x} \cdot (1 + \cos^{2} (x)) + e^{x} \sin^{2} (x)$

Étape 5.3.5

Factorisez

$e^{x}$ à partir de

$e^{x} \cdot (1 + \cos^{2} (x)) + e^{x} \sin^{2} (x)$ .

$e^{x} (1 + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))$

Étape 5.4

Réorganisez les termes.

$e^{x} (1 + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

Étape 5.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$e^{x} (1 + 1)$

Étape 5.6

Additionnez

$1$ et

$1$ .

$e^{x} \cdot 2$

Étape 5.7

Déplacez

$2$ à gauche de

$e^{x}$ .

$2 e^{x}$